En cálculo, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto es una fórmula usada para hallar la derivada del producto de dos o más funciones
![{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3034039c2869006b68ce845a2cbee41408db4f6c)
o usando la notación de Leibniz:
![{\displaystyle {d \over dx}(u\cdot v)=u\;{dv \over dx}+v\;{du \over dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af6f123cb2f2ed48b00b494961051c3049be2ed)
La regla puede ser extendida o generalizada a situaciones en las que por ejemplo, se incluye el producto de más de dos funciones.
Demostración[editar]
Se puede demostrar la regla usando las características del límite y la definición de la derivada como el límite del cociente de la diferencia.
Sea
![{\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9aee8b805247d04044a9420df3d223f840d05fe)
con
y
continuas y diferenciables en la variable
entonces
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g\cdot h)(x+\Delta x)-(g\cdot h)(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab86c7d238834423f792996a957374e5297d291)
Como
![{\displaystyle g\left(x+\Delta x\right)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)=g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de9e73b4398e61ec8eb3db58272b9ec0d811cf4)
se tiene
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05f5cb497c235e4875e36d6e62f919160baf0e6)
Distribuyendo ahora el límite entre la suma y los productos (ver propiedades), obtenemos que
![{\displaystyle f'(x)=\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d622952ac00fc2a35e2d0ddd892848d105515468)
Como
es continua en
se tiene
![{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80a2720854af5bde31518e12201421387730ebb)
y por la definición de la derivada, y la diferenciabilidad de
y
en
se tiene también que
![{\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\qquad \qquad {\text{y}}\qquad \qquad g'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074080892fb81c23111883fa4383b8d3baebd4e8)
Por lo tanto
![{\displaystyle f'(x)=g(x)h'(x)+h(x)g'(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7cfd875f0df034567b2187e007038ad0330849)
Suponiendo que se quiere derivar:
![{\displaystyle f(x)=x^{2}\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490678141f830890d5e98f2270636d3d13a4b62a)
Usando la regla del producto, se obtiene la derivada:
![{\displaystyle f'(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7bb4d714843f559e0563af07a8dfc0938cfcaa)
Generalizaciones[editar]
Producto de dos o más factores[editar]
La regla del producto puede ser generalizada a productos de más de dos factores, por ejemplo, para tres factores tenemos
![{\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1efd102a6c1a7e41f518ac4c742e9ccde9a7d105)
Para una colección de funciones
tenemos
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)=\sum _{i=1}^{k}\left(\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x){\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)=\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/848107aa41bf55d246130b5ca1207ec74dc8153f)
La derivada logarítmica ayuda a demostrar la expresión anterior sin necesidad de recurrir a alguna recursión.
Derivadas de orden superior[editar]
También puede generalizarse a la regla general de Leibniz para la
-ésima derivada del producto de dos factores.
Sean
y
funciones
veces diferenciables. La
-ésima derivada del producto
viene dada por:
![{\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86881c1575dac0bde417feb80ae59283ffedc9ca)
donde
es el coeficiente binomial, y se sigue el convenio
.
Esta fórmula puede ser demostrada a través de la regla del producto e inducción.
Más aún, la
-ésima derivada de un número arbitrario de factores
![{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{\binom {n}{j_{1},j_{2},\dots ,j_{k}}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9f59bae15ab2b98e5b6eaf9c7bd0ef7da23e894)
Supóngase que
,
y
son espacios de Banach y
es un operador bi lineal continuo, entonces
es diferenciable y su derivada en el punto
en
es el mapeo lineal
dado por
![{\displaystyle \left(D_{(x,y)}B\right)(u,v)=B(u,y)+B(x,v)\quad \forall \;(u,v)\in X\times Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffc1022641781efebefb82ba786644fd457457b)
La regla del producto se extiende al producto escalar y producto vectorial de funciones vectoriales como
Para producto escalar:
Para producto vectorial:
Véase también[editar]
Referencias[editar]