En matemáticas, una forma bilineal sobre un espacio vectorial es una aplicación bilineal , donde es el cuerpo de escalares. En otras palabras, una forma bilineal es una función que asocia un escalar a cada par de vectores, tal que es lineal en cada uno de sus argumentos por separado.[1]
Cuando es el cuerpo de números complejos , es más interesante hablar de formas sesquilineales, que son similares a las formas bilineales, pero son conjugadas lineales en un argumento.
Dados un cuerpo K y un K-espacio vectorial V, una forma bilineal es una aplicación
que verifica:[1]
para cualquier y
También se puede definir una forma bilineal como un caso particular de una forma multilineal, en particular como un tensor de tipo (2, 0).
-
El producto escalar en el espacio euclideo es una forma bilineal. En particular, dados dos vectores en el plano bidimensional de la forma y , su producto escalar viene dado por:
que se puede verificar que es una forma bilineal.
-
El determinante de una matriz cuadrada de dimensión dos es una forma bilineal, con respecto a los vectores columna de la matriz. Dados dos vectores en el plano bidimensional , y , y sea
se define
denotado más comúnmente por
- .
Propiedades[editar]
De la definición se tienen las siguientes propiedades:
para todo y
Forma bilineal simétrica y antisimétrica[editar]
Una forma bilineal puede tener un comportamiento especialmente simple frente al intercambio de los argumentos; aún en el caso de que no lo tenga, se puede descomponer de manera única en dos formas bilineales que sí lo tienen.
Forma bilineal simétrica[editar]
Una forma bilineal simétrica es aquella que es conmutativa, por lo que se puede intercambiar el primer con el segundo argumento sin variar la imagen:
Como ejemplo se tiene que el producto escalar en el espacio euclídeo es una forma bilineal simétrica.
Forma bilineal antisimetrica[editar]
Una forma bilineal antisimétrica es aquella en la que el intercambio de argumentos provoca un cambio de signo:
en particular se tiene que
Un ejemplo de ello es el símbolo de Levi-Civita bidimensional.
Descomposición de una forma bilineal cualquiera[editar]
Dada una forma bilineal cualquiera se puede definir su forma bilineal simétrica como:
Análogamente la forma bilineal antisimétrica se define como:
Las formas así definidas componen la forma original:
Formas no degeneradas[editar]
Forma sesquilineal[editar]
Si el cuerpo K es el cuerpo de números complejos C, se puede definir una forma sesquilineal como:
donde , en la última condición, denota al complejo conjugado.
- Se dice que una forma sesquilineal f es hermítica si es igual a su conjugada
- se denomina que una forma hermítica f es positiva si a f (v, v)≥ 0[2]
Matriz asociada[editar]
Una forma bilineal se puede expresar de manera sencilla en forma matricial. Dadas una forma bilineal y una base del espacio vectorial V, se define la matriz asociada a la forma f respecto de la base B como:[3]
Donde cada entrada de la matriz es la imagen de los correspondientes vectores de la base por f: . Con la matriz así definida, la imagen por f de los vectores y sería:
Nótese que por ser un escalar, se verifica que
Bajo estas condiciones, puede demostrarse la siguiente propiedad.
Las matrices asociadas a formas simétricas son simétricas, y las matrices asociadas a formas antisimétricas son antisimétricas.
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Demostración
|
El enunciado puede reescribirse como un par de implicaciones dobles.
- f es simétrica si y sólo si su matriz asociada es simétrica.
- f es antisimétrica si y sólo si su matriz asociada es antisimétrica.
con la sustitución de las definiciones correspondientes, se tiene para todo u, v en V,
- por un lado, y
- .
Se demuestra cada proposición por separado.
-
por hipótesis, luego
como la igualdad es cierta para todo u, v tiene que ser
.
Escribimos nuevamente a f en forma matricial
pero como por hipótesis ,
.
-
La prueba es análoga.
por lo tanto
.
Escribimos nuevamente a f en forma matricial
∎
|
Forma cuadrática asociada[editar]
Dada una forma bilineal, se puede definir su forma cuadrática asociada como:
dado por
Además, cada forma cuadrática tiene una forma bilineal asociada denominada forma polar.
Véase también[editar]
Referencias[editar]
Bibliografía[editar]
- Merino, Luis; Santos, Evangelina (2006). Álgebra lineal con métodos elementales. Paraninfo. ISBN 9788497324816.
Enlaces externos[editar]