Conjunto de Sidón
En teoría de Números, un conjunto de Sidon, denominado en honor al matemático Húngaro Simon Sidon, es una secuencia de números naturales A = {a0, a1, a2, ...} en la que todas las posibles sumas de dos de los números son diferentes ai + aj (i ≤ j). Sidón introdujo este concepto en su investigación sobre las series de Fourier.
El principal problema en el estudio de los conjuntos de Sidón,[1] es encontrar el mayor número de elementos posibles en una secuencia de Sidon A que sean más pequeños que un número dado x. A pesar del gran esfuerzo investigador,[2] la cuestión quedó sin resolver durante al menos 80 años. En 2010, fue finalmente resuelta[3] por J. Cilleruelo, I. Ruzsa y C. Vinuesa.
Primeros resultados[editar]
Paul Erdős y Pál Turán probaron que, para todo x > 0, el número de elementos menor que x en una secuencia de Sidon es al menos . Usando una construcción de J. Singer, probaron que existen secuencias de Sidón que contienen términos menores que x.
Infinitas secuencias de Sidón[editar]
Erdős también mostró que si consideramos una secuencia infinita de Sidón A siendo A(x) el número de elementos mayores que x, entonces
- .
Esto es, hay infinitas secuencias de Sidón más pequeñas que la cadena de Sidón finita más grande.
Véase también[editar]
Referencias[editar]
- ↑ Erdős, P.; Turán, P. (1941), «On a problem of Sidon in additive number theory and on some related problems», J. London Math. Soc. 16: 212-215, doi:10.1112/jlms/s1-16.4.212.. Addendum Archivado el 18 de julio de 2011 en Wayback Machine., 19 (1944), 208.
- ↑ O'Bryant, K. (2004), «A complete annotated bibliography of work related to Sidon sequences», Electronic Journal of Combinatorics 11: 39, archivado desde el original el 6 de junio de 2011, consultado el 22 de septiembre de 2014..
- ↑ Cilleruelo, J.; Ruzsa, I.; Vinuesa, C. (2010), «Generalized Sidon sets», Advances in Mathematics 225: 2786-2807, doi:10.1016/j.aim.2010.05.010.
- Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd edición). Springer-Verlag. C9. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001.