De Wikipedia, la enciclopedia libre
Por el título de esta.Ayuda
(Para la desigualdad utilizada en probabilidad, ver la Desigualdad de Bienaymé-Chebyshov)
La desigualdad de la suma de Chebyshov, debe su nombre al matemático ruso Pafnuti Chebyshov.
Formulación[editar]
La desigualdad de la suma de Chebyshov establece que si:
![{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa03d9b4fa8588835dae536d8b4a23ee2bf70f9)
y
![{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2365287eac4662146947e3be79e915a7017ed3f6)
entonces:
![{\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbe36f000df33bbb444e386af2f1e72e403a6b3)
Del mismo modo, si:
![{\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8732e31bcf803f595309523c7a414356c4cbb448)
y
![{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2365287eac4662146947e3be79e915a7017ed3f6)
entonces:
[1]
Demostración[editar]
Considérese la suma:
![{\displaystyle S=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}(a_{j}-a_{k})(b_{j}-b_{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ccc5e11d0e1374a0ed66b64c0a7a9ad08867546)
Si las dos secuencias no se incrementan, entonces:
aj − ak y
bj − bk
tienen el mismo signo para cualquier j, k. Por lo tanto S ≥ 0.
Resolviendo los paréntesis, se deduce que:
![{\displaystyle 0\leq 2n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}-2\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,\sum _{k=1}^{n}b_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5253e471d1a2f062d6d9445c734e6cf3b4ba050d)
donde:
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\geq \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\right)\,\left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}b_{k}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa258fbf2de637f60d8300d8ff07c4fbcf70e0e)
Una demostración alternativa se puede obtener con el procedimiento de reordenación de desigualdad.
Versión continua[editar]
También hay una versión continua de la desigualdad de la suma Chebyshov:
Si f y g son funciones de variable real integrables en el intervalo [0,1], pero no crecientes, o ambas no decrecientes, entonces:
![{\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)g(x)dx\geq \int _{0}^{1}f(x)dx\int _{0}^{1}g(x)dx,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a281a59bca6ac0711549933d42d7aafe20ba675e)
con la desigualdad invertida si una función es no creciente y la otra es no decreciente.
Referencias[editar]