En álgebra, la identidad de Parseval, también conocida como la igualdad de Parseval, es una generalización del teorema de Pitágoras aplicado a los espacios de Hilbert separables. Si B es una base ortonormal en un espacio vectorial producto interno de dimensión finita
, entonces
![{\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle =\sum _{i=1}^{q}\left|\langle v_{i},x\rangle \right|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f73e4223851c934b6c760cf82a312bb13a26827)
El nombre procede de la relación de Parseval para las series de Fourier, que es un caso especial.
La identidad de Parseval se puede demostrar mediante el teorema de Riesz-Fischer.
Demostración[editar]
Sea
una base ortogonal de un espacio producto interno
de cuerpo
,
o
Se demuestra que
:
![{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}v_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4646584ded1f3b8ac4fa863167bbf43bea17b909)
entonces
, con
donde
son las coordenadas en base
del vector
. Entonces
![{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{q}{\frac {\langle x,v_{i}\rangle }{||v_{i}||^{2}}}v_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca9866f6418f1f90ae7de47af84b20f514a2cff)
Si la base
es ortonormal,
, entonces resulta:
![{\displaystyle x\doteq \sum _{i=1}^{q}{\langle x,v_{i}\rangle }{}v_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24de806e4a603713919325bbd0ac5111f0b2a5a0)
Para este caso, puede calcularse:
![{\displaystyle {\begin{aligned}||x||^{2}&=\langle x,x\rangle \\&=\langle \sum _{i=1}^{q}\langle x,v_{i}\rangle v_{i},\sum _{i=1}^{q}\langle x,v_{i}\rangle v_{i}\rangle \\&=\langle \langle v_{1},x\rangle v_{1},\langle v_{1},x\rangle v_{1}\rangle +\langle \langle v_{2},x\rangle v_{2},\langle v_{2},x\rangle v_{2}\rangle +\cdots +\langle \langle v_{q},x\rangle v_{q},\langle v_{q},x\rangle v_{q}\rangle \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a016b2c5c1b5b233a45ed4dc4219a478e8fd28e7)
Por dos de los axiomas del producto interno,
, con
y
resulta
con
y
, entonces:
![{\displaystyle ||x||^{2}={\Bigl (}{\overline {(v_{1},x)}}(v_{1},x)(v_{1},v_{1}){\Bigr )}+{\Bigl (}{\overline {(v_{2},x)}}(v_{2},x)(v_{2},v_{2}){\Bigr )}+...+{\Bigl (}{\overline {(v_{q},x)}}(v_{q},x)(v_{q},v_{q}){\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/926bf81c70a6675d3028a25f73c8ff83f1e9d14d)
Como
, y la base
es ortonormal
.
Además, usando la propiedad de los número complejos,
, con
entonces:
![{\displaystyle ||x||^{2}=|(v_{1},x)|^{2}+|(v_{2},x)|^{2}+\cdots +|(v_{q},x)|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5264326458cc1c9fa5a762b6016490566758c7e4)
quedando entonces la expresión
![{\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{i=1}^{q}\left|(v_{i},x)\right|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89670b7aa233c5bab1e606650038b1a379813972)
Relación con series de Fourier[editar]
Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de Fourier, tanto en forma compleja como real.
Forma compleja (o exponencial):
![{\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^{2}\mathrm {d} x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13e4eed0d308a3f2eeb5fd194daa0a80271f275)
Forma real (o trigonométrica):
![{\displaystyle {\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^{2}\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf5310b4e2f17f6bcb2e7e1fc7a48ecc9d77c41)
Siendo
el periodo y
,
,
los coeficientes de Fourier complejos y reales respectivamente. (Aquí se utiliza la convención de que
, en otro caso el coeficiente de
será diferente).
Véase también[editar]
Referencias[editar]
- Johnson & Riess; Numerical Analysis. ISBN 0-201-10392-3.; apuntes teóricos personales de Álgebra II - Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, Argentina